Ta có:
\(x+y+z=xyz\left(1\right)\)
Chia hai vế của \(\left(1\right)\) cho \(xyz\ne0\) ta được:
\(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}=1\)
Giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\) ta có:
\(1=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}\le\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^2}=\dfrac{3}{z^2}\)
\(\Rightarrow1\le\dfrac{3}{z^2}\Rightarrow z^2\le3\Leftrightarrow z=1\)
Thay \(z=1\) vào \(\left(1\right)\) ta được:
\(x+y+1=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=2\)
Mà \(x-1\ge y-1\) nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=2\\y-1=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm dương của phương trình là các hoán vị của \(1,2,3\)
theo bài ra ta có:
\(x+y+z=xyz\\ \Rightarrow\dfrac{x+y+z}{xyz}=\dfrac{xyz}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{x+y+z}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{x}{xyz}+\dfrac{y}{xyz}+\dfrac{z}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}=1\)
giả sử \(1\le x\le y\le z\) ta có:
\(1=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}\le\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\\ \Rightarrow1\le\dfrac{3}{x^2}\)
\(\Rightarrow x^2\le3\)
=> \(x^2\inƯ_{\left(3\right)}=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
=> x = 1
thay x = 1 vào đầu bài ta có:
\(1+y+z=yz\\ \Rightarrow1+y+z-yz=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)+\left(y-yz\right)=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)-y\left(z-1\right)=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)-y\left(z-1\right)-2=-2\\ \Rightarrow\left(1+z-2\right)-y\left(z-1\right)=-2\\ \Rightarrow\left(z-1\right)-y\left(z-1\right)=-2\\ \Rightarrow\left(z-1\right)\left(1-y\right)=-2\)
=> \(\left(z-1\right);\left(1-y\right)\inƯ_{\left(-2\right)}=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
ta có bảng sau:
| z-1 | -1 | 1 | 2 | -2 |
| z | 0 | 2 | 3 | -1 |
| 1-y | 2 | -2 | -1 | 1 |
| y | -1 | 3 | 2 | 0 |
vì y và z là các số nguyên dương
=> các cặp (y;z) là (3;2), (2;3)
vậy các cặp (x;y;z) là (1;3;2), (1;2;3)
vậy các nghiệm guyên dương của phương trình trên là hoán vị của 1;2;3
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).
