Question

Tìm m để phương trình: \(x\left(x+2\right)-4\sqrt{-x^2-2x+8}-m=0\) có nghiệm

Tìm m để phương trình: \(2\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\right)-\sqrt{-x^2-2x+3}+m-3=0\) có nghiệm

Answer 1

a.

ĐKXĐ: \(-4\le x\le2\)

Đặt \(\sqrt{-x^2-2x+8}=t\ge0\)

Do \(\sqrt{-x^2-2x+8}=\sqrt{-\left(x+1\right)^2+9}\le\sqrt{9}=3\)

\(\Rightarrow0\le t\le3\)

Khi đó pt trở thành:

\(8-t^2-4t-m=0\)

\(\Leftrightarrow m=-t^2-4t+8\) (1)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2-4t+8\) trên \(\left[0;3\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=-2\notin\left[0;3\right]\) ; \(f\left(0\right)=8\) ; \(f\left(3\right)=-13\)

\(\Rightarrow-13\le f\left(t\right)\le8\) ; \(\forall t\in\left[0;3\right]\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-13\le m\le8\)

Answer 2

b.

ĐKXĐ: \(-3\le x\le1\)

Đặt \(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}=t\)

\(\Rightarrow t^2=4+2\sqrt{-x^2-2x+3}\Rightarrow-\sqrt{-x^2-2x+3}=\frac{4-t^2}{2}\)

Ta có:

\(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\ge\sqrt{x+3+1-x}=2\Rightarrow t\ge2\)

\(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\le\sqrt{2\left(x+3+1-x\right)}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow2\le t\le2\sqrt{2}\)

Pt đã cho trở thành:

\(2t+\frac{4-t^2}{2}+m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}t^2-2t+1=m\) (1)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2-2t+1\) trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=2\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\) ; \(f\left(2\right)=-1\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=5-4\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow-1\le f\left(t\right)\le5-4\sqrt{2}\) ; \(\forall t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-1\le m\le5-4\sqrt{2}\)

Answer 3

Lý thuyết: tìm m để pt đưa về dạng \(f\left(x\right)=m\) có nghiệm trên 1 đoạn \(\left[m;n\right]\) nào đó

- Đầu tiên, chuyển m về 1 vế (gọi là cô lập m), vế còn lại là 1 hàm bậc 2 theo biến x (hoặc biến t) dạng \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

- Biện luận được khoảng xác định của x là đoạn \(\left[m;n\right]\) (điều này có thể làm ngay từ đầu)

- Tiến hành tính toán giá trị \(-\frac{b}{2a}\) rồi quan sát xem giá trị này có nằm trên đoạn \(\left[m;n\right]\) kia không (nếu không nằm trên đoạn [m;n] thì bỏ qua, ko cần quan tâm đến nó nữa)

- Tính toán các giá trị \(f\left(m\right)\) ; \(f\left(n\right)\) ; \(f\left(-\frac{b}{2a}\right)\) (chỉ tính toán \(f\left(-\frac{b}{2a}\right)\) nếu \(-\frac{b}{2a}\in\left[m;n\right]\) )

- Lấy 2 giá trị lớn nhất (LN) và nhỏ nhất (NN) trong các giá trị vừa tính toán

Khi đó ta kết luận được pt có nghiệm khi \(NN\le m\le LN\)