Question

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: \(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=m+1\\2x+my=2m-1\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Với m = 0 ta có hpt \(\left\{{}\begin{matrix}2y=1\\2x=-1\end{matrix}\right.\). HPT này không có nghiệm nguyên.

Xét \(m\neq 0\).

Để hpt có nghiệm duy nhất thì: \(\dfrac{m}{2}\ne\dfrac{2}{m}\Leftrightarrow m\ne\pm2\).

HPT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2mx+4y=2m+2\\2mx+m^2y=2m^2-m\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(m^2-4\right)y=2m^2-3m-2\).

\(\Rightarrow y=\dfrac{2m^2-3m-2}{m^2-4}=\dfrac{2m+1}{m+2}\).

Từ đó ta có \(x=\dfrac{m+1-\dfrac{2\left(2m+1\right)}{m+2}}{m}=\dfrac{m^2+3m+2-4m-2}{m\left(m+2\right)}=\dfrac{m^2-m}{m\left(m+2\right)}=\dfrac{m-1}{m+2}\).

Vậy m là các số sao cho \(\dfrac{2m+1}{m+2}\) là số nguyên (Do \(\dfrac{2m+1}{m+2}-\dfrac{m-1}{m+2}=1\) là số nguyên).