Question

Tìm m để hàm số 

           \(y=x^4-2mx^2+2\)

Có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm

Answer 1

Ta có \(y'=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)=0\Rightarrow x=0\) hoặc \(x^2=m\)

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị <=> phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó <=> m > ).

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là :

\(A\left(0;2\right);B\left(\sqrt{m};2-m^2\right);C\left(-\sqrt{m};2-m^2\right)\)

Vì B, C đối xứng nhau qua trục tung nên BC luôn vuông góc OA

Do đó O là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}=0\)

\(\Leftrightarrow m^4-2m^2-m=0\Leftrightarrow m=0\) hoặc \(m=-1\) hoặc \(m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

Kết hợp với điều kiện suy ra \(m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)