Question

Tìm m để hàm số y=x^4-2(m+1)x^2+m có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

Answer 1

Hàm có 3 cực trị khi \(-2\left(m+1\right)< 0\Leftrightarrow m>-1\)

\(y'=4x^3-4\left(m+1\right)x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=m\\x=-\sqrt{m+1}\Rightarrow y=-m^2-m-1\\x=\sqrt{m+1}\Rightarrow y=-m^2-m-1\end{matrix}\right.\)

Gọi 3 điểm cực trị là A, B, C với \(A\left(0;m\right)\) và \(B\left(\sqrt{m+1};-m^2-m+1\right)\)

Tam giác ABC cân tại A nên nó đều khi \(B=60^0\)

\(\Rightarrow tanB=tan60^0=\dfrac{y_A-y_B}{x_B}\Leftrightarrow\sqrt{3}=\dfrac{m^2+2m+1}{\sqrt{m+1}}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^3=3\Rightarrow m=\sqrt[3]{3}-1\)