Question

Tìm m để hàm số

 a) \(y=x^3+3x^2-3\left(m^2-1\right)x\) đồng biến trên (1;2)

b) \(y=-x^3+3x^2+\left(m-1\right)x+m\) nghịch biến \(\left(-1;+\infty\right)\)

Answer 1

Lời giải:

a. Để hàm đồng biến trên $(1;2)$ thì:

$y'=3x^2+6x-3(m^2-1)>0$ với mọi $x\in (1;2)$

$\Leftrightarrow x^2+2x-m^2+1>0, \forall x\in (1;2)$

$\Leftrightarrow (x+1)^2> m^2, \forall x\in (1;2)$

$\Leftrightarrow m^2< min (x+1)^2, \forall x\in (1;2)$

$\Leftrightarrow m^2< 4$

$\Leftrightarrow -2< m < 2$

b. 

Để hàm số nghịch biến trên $(-1;+\infty)$ thì:

$y'=-3x^2+6x+(m-1)<0, \forall x\in (-1;+\infty)$

$\Leftrightarrow m< 3x^2-6x+1, \forall x\in (-1;+\infty)$

$\Leftrightarrow m< min (3x^2-6x+1), \forall x\in (-1;+\infty)$

Ta thấy: $3x^2-6x+1=3(x-1)^2-2\geq -2$ với mọi $x\in (-1;+\infty)$

$\Rightarrow m< -2$