Question

tìm GTNN của \(\sqrt{\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cosi ta có:

\(x-1+1\ge2\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}\ge\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{x}\le\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\)

\(\Leftrightarrow2\le\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\le\sqrt{\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}}\)

Dấu bằng xảy ra khi x=2

Vậy GTNN của biểu thức là \(\sqrt{2}\) khi x=2

Answer 2

\(\sqrt{\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}}\overset{AM-GM}{\ge}\sqrt{\dfrac{x}{\dfrac{x-1+1}{2}}}=\sqrt{\dfrac{2x}{x}}=\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(x-1=1\\ \Leftrightarrow x=2\)

Vậy.............