Câu hỏi của Mai Huyền My

Question

Tìm GTNN của $P=\dfrac{x+3\sqrt{x-1}+1}{x+4\sqrt{x-1}+2}$ với x≥1

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Đặt $\sqrt{x-1}=a\ge0\Rightarrow x=a^2+1$

$P=\dfrac{a^2+3a+2}{a^2+4a+3}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(a+2\right)}{\left(a+1\right)\left(a+3\right)}=\dfrac{a+2}{a+3}=1-\dfrac{1}{a+3}$

Do $\dfrac{1}{a+3}>0\Rightarrow P_{min}$ khi $\dfrac{1}{a+3}$ lớn nhất $\Rightarrow a+3$ nhỏ nhất

Mà $a+3\ge3\Rightarrow P_{min}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ khi $a=0\Leftrightarrow x=1$Câu trả lời: Đặt $\sqrt{x-1}=a\ge0\Rightarrow x=a^2+1$

$P=\dfrac{a^2+3a+2}{a^2+4a+3}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(a+2\right)}{\left(a+1\right)\left(a+3\right)}=\dfrac{a+2}{a+3}=1-\dfrac{1}{a+3}$

Do $\dfrac{1}{a+3}>0\Rightarrow P_{min}$ khi $\dfrac{1}{a+3}$ lớn nhất $\Rightarrow a+3$ nhỏ nhất

Mà $a+3\ge3\Rightarrow P_{min}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ khi $a=0\Leftrightarrow x=1$

Violympic toán 9