Question

Tìm GTLN, GTNN của A=\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\)

Biết \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(A=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)

\(=x-\sqrt{xy}+y=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-3\sqrt{xy}\)

\(=1-3\sqrt{xy}\)

Ta thấy \(\sqrt{xy}\geq 0\Rightarrow A=1-3\sqrt{xy}\leq 1\)

Vậy \(A_{\max}=1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0)\) và hoán vị.

Lại có, theo BĐT Cô-si:

\(1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\sqrt{y}}=2\sqrt[4]{xy}\)

\(\Rightarrow \sqrt{xy}\leq \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A=1-3\sqrt{xy}\geq 1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)