\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\sin^2x+sinx+m=0\end{matrix}\right.\)
Pt \(cosx=1\Leftrightarrow x=k2\pi\) có 2 nghiệm trên đoạn đã cho
\(\Rightarrow sin^2x+sinx+m=0\) (1) có 4 nghiệm trên đoạn đã cho
Đặt \(sinx=t\Rightarrow t^2+t=-m\)
Trên \(\left[0;2\pi\right]\) ứng với mỗi \(sinx=t\) có tối đa 2 giá trị x
Pt \(t^2+t=-m\) cũng có tối đa 2 nghiệm \(t\)
Do đó để (1) có 4 nghiệm \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinx=t\\t^2+t=-m\end{matrix}\right.\) đều có 2 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< t< 1\\t^2+t=-m\end{matrix}\right.\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2+t\) trên \(\left(-1;1\right)\)
\(-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}\) ; \(f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}\) ; \(f\left(1\right)=2\) ; \(f\left(-1\right)=0\)
\(\Rightarrow y=-m\) cắt \(y=f\left(t\right)\) tại 2 điểm pb \(\Leftrightarrow-\frac{1}{4}< -m< 0\)
\(\Leftrightarrow0< m< \frac{1}{4}\)
