Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau trên khoảng, đoạn tương ứng :
a) \(g\left(x\right)=\left|x^3+3x^2-72x+90\right|\) trên đoạn \(\left[-5;5\right]\)
b) \(f\left(x\right)=x^2-4x^2+1\) trên đoạn \(\left[-1;2\right]\)
c) \(f\left(x\right)=x-\ln x+3\) trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) \(f\left(x\right)=2x^3-2x^2-12x+1\) trên đoạn \(\left[-2;\dfrac{5}{2}\right]\)
b) \(f\left(x\right)=x^2\ln x\) trên đoạn \(\left[1;e\right]\)
c) \(f\left(x\right)=xe^{-x}\) trên nửa đoạn [0; +\(\infty\))
d) \(f\left(x\right)=2\sin x+\sin2x\) trên đoạn \(\left[0;\dfrac{3}{2}\pi\right]\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) \(f\left(x\right)=\ln\left(x^2+x-2\right)\) trên đoạn \(\left[3;6\right]\)
b) \(f\left(x\right)=\cos^2x+\cos x+3\)
Tìm \(a\in\left(0;2\pi\right)\) để hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}\left(1+2\cos a\right)x^2+2x\cos a+1\) đồng biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\) ?
Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm số :
\(s\left(x\right)=\dfrac{a^x-a^{-x}}{2}\)
\(c\left(x\right)=\dfrac{a^x+a^{-x}}{2}\)
\(t\left(x\right)=\dfrac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}\)
Hãy chứng minh rằng :
a) \(c^2\left(x\right)-s^2\left(x\right)=1\)
b) \(s\left(2x\right)=2s\left(x\right)c\left(x\right)\)
c) \(c\left(2x\right)=2c^2\left(x\right)-1=2s^2\left(x\right)+1=c^2\left(x\right)+s^2\left(x\right)\)
d) \(t\left(2x\right)=\dfrac{2t\left(x\right)}{1+t^2\left(x\right)}\)
Cho hàm số :
\(f\left(x\right)=ax^2-2\left(a+1\right)x+a+2\) \(\left(a\ne0\right)\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình \(f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó ?
b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a ?
Phát biểu các điều kiện cần và đủ để hàm số \(f\left(x\right)\) đơn điệu trên một khoảng ?
Cho hàm số \(y=x^3+ax^2+bx+1\)
a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(A\left(1;2\right);B\left(-2;-1\right)\)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giớ hạn bởi các đường \(y=0;x=0;x=1\) và đồ thị (C) xung quanh trục hoành
Giải các phương trình sau :
a) \(13^{2x+1}-13^x-12=0\)
b) \(\left(3^x+2^x\right)\left(3^x+3.2^x\right)=8.6^x\)
c) \(\log_{\sqrt{3}}\left(x-2\right).\log_5x=2.\log_3\left(x-2\right)\)
d) \(\log^2_2x-5\log_2x+6=0\)
Giải các phương trình sau :
a) \(\left(\dfrac{13}{24}\right)^{3x+7}=\left(\dfrac{24}{13}\right)^{2x+3}\)
b) \(\left(4-\sqrt{15}\right)^{\tan x}+\left(4+\sqrt{15}\right)^{\tan x}=8\)
c) \(\left(\sqrt[3]{6+\sqrt{15}}\right)^x+\left(\sqrt[3]{7-\sqrt{15}}\right)^x=13\)