Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) \(f\left(x\right)=2x^3-2x^2-12x+1\) trên đoạn \(\left[-2;\dfrac{5}{2}\right]\)
b) \(f\left(x\right)=x^2\ln x\) trên đoạn \(\left[1;e\right]\)
c) \(f\left(x\right)=xe^{-x}\) trên nửa đoạn [0; +\(\infty\))
d) \(f\left(x\right)=2\sin x+\sin2x\) trên đoạn \(\left[0;\dfrac{3}{2}\pi\right]\)
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số :
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{24}}_0\tan\left(\dfrac{\pi}{3}-4x\right)dx\) (đặt \(u=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-4x\right)\)
b) \(\int\limits^{\dfrac{3}{5}}_{\dfrac{\sqrt{3}}{5}}\dfrac{dx}{9+25x^2}\) (đặt \(x=\dfrac{3}{5}\tan t\))
c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^3x\cos^4xdx\) (đặt \(u=\cos x\))
d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_{-\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt{1+\tan x}}{\cos^2x}dx\) (đặt \(u=\sqrt{1+\tan x}\))
Tính :
a) \(\int\limits^2_{-1}\left(5x^2-x+e^{0,5x}\right)dx\)
b) \(\int\limits^2_{0,5}\left(2\sqrt{x}+\dfrac{3}{x^2}+\cos x\right)dx\)
c) \(\int\limits^2_1\dfrac{dx}{\sqrt{2x+3}}\) (đặt \(t=\sqrt{2x+3}\) )
d) \(\int\limits^2_1\sqrt[3]{3x^3+4}x^2dx\) (đặt \(t=\sqrt[3]{3x^3+4}\) )
e) \(\int\limits^2_{-2}\left(x-2\right)\left|x\right|dx\)
g) \(\int\limits^0_1x\cos xdx\)
h) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{1+\sin2x+\cos2x}{\sin x+\cos x}dx\)
i) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0e^x\sin xdx\)
k) \(\int\limits^e_1x^2\ln^2xdx\)
Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm số :
\(s\left(x\right)=\dfrac{a^x-a^{-x}}{2}\)
\(c\left(x\right)=\dfrac{a^x+a^{-x}}{2}\)
\(t\left(x\right)=\dfrac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}\)
Hãy chứng minh rằng :
a) \(c^2\left(x\right)-s^2\left(x\right)=1\)
b) \(s\left(2x\right)=2s\left(x\right)c\left(x\right)\)
c) \(c\left(2x\right)=2c^2\left(x\right)-1=2s^2\left(x\right)+1=c^2\left(x\right)+s^2\left(x\right)\)
d) \(t\left(2x\right)=\dfrac{2t\left(x\right)}{1+t^2\left(x\right)}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) \(f\left(x\right)=\ln\left(x^2+x-2\right)\) trên đoạn \(\left[3;6\right]\)
b) \(f\left(x\right)=\cos^2x+\cos x+3\)
Giải các phương trình sau :
a) \(5^{\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)}=1\)
b) \(6.4^x-13.6^x+6.9^x=0\)
c) \(7^{x^2}.5^{2x}=7\)
d) \(\log_4\left(x+2\right)\log_x2=1\)
e) \(\dfrac{\log_3x}{\log_93x}=\dfrac{\log_{27}9x}{\log_{81}27x}\)
g) \(\log_3x+\log_4\left(2x-2\right)=2\)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau trên khoảng, đoạn tương ứng :
a) \(g\left(x\right)=\left|x^3+3x^2-72x+90\right|\) trên đoạn \(\left[-5;5\right]\)
b) \(f\left(x\right)=x^2-4x^2+1\) trên đoạn \(\left[-1;2\right]\)
c) \(f\left(x\right)=x-\ln x+3\) trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)
Cho hàm số :
\(y=\dfrac{1}{3}x^3-\left(m-1\right)x^2+\left(m-3\right)x+4\dfrac{1}{2}\) (1)
(m là tham số )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm (1) khi m = 0
b) Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị C( tại điểm \(A\left(0;4\dfrac{1}{2}\right)\)
c) Tình diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng \(x=0;x=2\)
d) Xác định m để đồ thị (1) cắt đường thẳng \(y=-3x+4\dfrac{1}{2}\) tại 3 điểm phân biệt
Cho a, b, x là những số dương. Đơn giản các biểu thức sau :
a) \(A=\left[\dfrac{2a+\left(ab\right)^{\dfrac{1}{2}}}{3a}\right]^{-1}\left[\dfrac{a^{\dfrac{3}{2}}-b^{\dfrac{3}{2}}}{a-\left(ab\right)^{\dfrac{1}{2}}}-\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right]\)
b) \(B=\left(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{x}}{\sqrt{a+x}}-\dfrac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a}+\sqrt{x}}\right)^{-2}-\left(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{x}}{\sqrt{a+x}}-\dfrac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a}-\sqrt{x}}\right)^{-2}\)
c) \(C=\sqrt{16^{\dfrac{1}{\log_74}}+81^{\dfrac{1}{\log_69}}+15}\)
d) \(D=49^{1-\log_72}+5^{-\log_54}\)
