Em thử,sai thì thôi!
Đặt \(A=10^{10^1}+10^{10^2}+...+10^{10^{10}}\)
Ta có:\(10^6\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow10^{6k}\equiv1\left(mod7\right)\)
Mặt khác \(10^n-4=\)\(1\underbrace{00.....00}_{n số 0} -4=\underbrace{999..9}_{n - 1 số 9}6\) (n thuộc N*)
Nhận xét rằng tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 nên \(10^n-4⋮3\) (1)
Mặt khác số 999..96 (bên trên) có chữ số tận cùng là 6 nên chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với (3;2) = 1 suy ra \(10^n-4⋮6\Leftrightarrow10^n-4\equiv0\left(mod6\right)\Leftrightarrow10^n\equiv4\left(mod6\right)\)
Đặt 10n = 6k + 4 khi đó ta có:
\(10^{10^1}\equiv10^{6k}.10^4\equiv10^4\equiv4\left(mod7\right)\)
\(10^{10^2}\equiv10^{6k}.10^4\equiv4\left(mod7\right)\)
..v.v...
\(10^{10^{10}}\equiv4\left(mod7\right)\)
Nhận xét rằng tổng A có 10 số hạng, do đó cộng theo từng vế của các đồng dư thức trên suy ra:
\(A\equiv4.10\equiv40\equiv5\left(mod7\right)\) hay A chia 7 dư 5.
Vậy...