Giải:
Đa thức bậc hai cần tìm có dạng:
\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)
Ta có:
\(f\left(x-1\right)=a\left(x-1\right)^2+b\left(x-1\right)+c\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=2ax-a+b=x\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=1\\b-a=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy đa thức cần tìm là:
\(f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+c\) (\(c\) là hằng số tùy ý)
Áp dụng:
\(-\) Với \(x=1\) ta có: \(1=f\left(1\right)-f\left(0\right)\)
\(-\) Với \(x=2\) ta có: \(1=f\left(2\right)-f\left(1\right)\)
\(.....................\)
\(-\) Với \(x=n\) ta có: \(1=f\left(n\right)-f\left(n-1\right)\)
\(\Rightarrow S=1+2+3+...+n=f\left(n\right)-f\left(0\right)\)
\(=\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{2}+c-c=\dfrac{n^2+n}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Vậy tổng \(S=1+2+3+...+n\) là \(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)