Question

Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn \(\sqrt{n+2}+\sqrt{n^3+1} \in \mathbb{N}\)

Answer 1

Đặt \(\sqrt{n+2}+\sqrt{n^3+1}=a\in N\)

\(\Leftrightarrow n+2+n^3+1+2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n^3+1\right)}=a^2\)

Vì n, a là số tự nhiên nên \(\left(n+2\right)\left(n^3+1\right)=x^2\in N\)

\(\Leftrightarrow n^4+2n^3+n+2=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(n^2+n\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-n^2-n\right)\left(x+n^2+n\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-n^2-n=1\\x+n^2+n=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-n^2-n=2\\x+n^2+n=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

vô nghiệm nhé