Question

Tìm các số nguyên m và n sao cho

P(x)=x⁴+mx³+29x²+nx+4 là số chính phương (x thuộc Z)

-----------

Mình đang cần rất gấp

Answer 1

Lời giải:

Vì hệ số bậc cao nhất là $1$ và hệ số tự do là $4$ nên để đa thức đã cho là một số chính phương thì ta có thể viết nó dưới dạng:

\(P(x)=x^4+mx^3+29x^2+nx+4=(x^2+ax+2)^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+mx^3+29x^2+nx+4=x^4+a^2x^2+4+2ax^3+4x^2+4ax\)

\(\Leftrightarrow x^4+mx^3+29x^2+nx+4=x^4+2ax^3+x^2(a^2+4)+4ax+4\)

Đồng nhất hệ số:

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=2a\\ 29=a^2+4\\ n=4a\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=2a\\ a^2=25\rightarrow a=\pm 5\\ n=4a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} m=10\\ n=20\end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} m=-10\\ n=-20\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)