Tìm các nguyên hàm sau
1.\(\int\frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}dx\)
2.\(\int\frac{1}{\sqrt{x}\left(1+\sqrt{x}\right)^3}dx\)
3.\(\int\frac{x}{\sqrt{2x+3}}dx\)
4.\(\int\) \(\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^x}}\) dx
5.\(\int\frac{\sqrt[3]{1+lnx}}{x}dx\)
6.\(\int\) cosxsin3xdx
7.\(\int\) (x2+2x-1)exdx
8.\(\int\) excosxdx
9.\(\int\) xsin(2x+1)dx
10.\(\int\) (1-2x)e3xdx
Không phải tất cả các câu đều dùng nguyên hàm từng phần được đâu nhé, 1 số câu phải dùng đổi biến, đặc biệt những câu liên quan đến căn thức thì đừng dại mà nguyên hàm từng phần (vì càng nguyên hàm từng phần biểu thức nó càng phình to ra chứ không thu gọn lại, vĩnh viễn không ra kết quả đâu)
a/ \(I=\int\frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}dx\)
Đặt \(u=\sqrt{1-x^3}\Rightarrow u^2=1-x^3\Rightarrow2u.du=-3x^2dx\)
\(\Rightarrow9x^2dx=-6udu\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{-6u.du}{u}=-6\int du=-6u+C=-6\sqrt{1-x^3}+C\)
b/ Đặt \(u=1+\sqrt{x}\Rightarrow du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\Rightarrow2du=\frac{dx}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{2du}{u^3}=2\int u^{-3}du=-u^{-2}+C=-\frac{1}{u^2}+C=-\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}+C\)
c/ Đặt \(u=\sqrt{2x+3}\Rightarrow u^2=2x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{u^2}{2}\\dx=u.du\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{u^2.u.du}{2u}=\frac{1}{2}\int u^2du=\frac{1}{6}u^3+C=\frac{1}{6}\sqrt{\left(2x+3\right)^3}+C\)
d/ Đặt \(u=\sqrt{1+e^x}\Rightarrow u^2-1=e^x\Rightarrow2u.du=e^xdx\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{\left(u^2-1\right).2u.du}{u}=2\int\left(u^2-1\right)du=\frac{2}{3}u^3-2u+C\)
\(=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+e^x\right)^2}-2\sqrt{1+e^x}+C\)
e/ Đặt \(u=\sqrt[3]{1+lnx}\Rightarrow u^3=1+lnx\Rightarrow3u^2du=\frac{dx}{x}\)
\(\Rightarrow I=\int u.3u^2du=3\int u^3du=\frac{3}{4}u^4+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(1+lnx\right)^4}+C\)
f/ \(I=\int cosx.sin^3xdx\)
Đặt \(u=sinx\Rightarrow du=cosxdx\)
\(\Rightarrow I=\int u^3du=\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{4}sin^4x+C\)
Từ phần này trở đi mới bắt đầu xài nguyên hàm từng phần:
g/ \(I=\int\left(x^2+2x-1\right)e^xdx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2+2x-1\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\left(2x+2\right)dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+2x-1\right)e^x-\int\left(2x+2\right)e^xdx\)
Xét \(J=\int\left(2x+2\right)e^xdx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=2x+2\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow J=\left(2x+2\right)e^x-\int2e^xdx=\left(2x+2\right)e^x-2e^x+C=2x.e^x+C\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+2x-1\right)e^x-2x.e^x+C=\left(x^2-1\right)e^x+C\)
h/ \(I=\int e^xcosx.dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=cosx\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-sinx.dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=e^x.cosx+\int e^xsinx.dx\)
Xét \(J=\int e^xsinx.dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=sinx\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=cosxdx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow J=e^x.sinx-\int e^x.cosxdx=e^xsinx-I\)
\(\Rightarrow I=e^xcosx+e^xsinx-I\)
\(\Rightarrow2I=e^x\left(sinx+cosx\right)\Rightarrow I=\frac{1}{2}e^x\left(sinx+cosx\right)+C\)
k/ \(I=\int x.sin\left(2x+1\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=sin\left(2x+1\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-\frac{1}{2}cos\left(2x+1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=-\frac{1}{2}x.cos\left(2x+1\right)+\frac{1}{2}\int cos\left(2x+1\right)dx\)
\(=-\frac{1}{2}x.cos\left(2x+1\right)+\frac{1}{4}sin\left(2x+1\right)+C\)
l/ \(I=\int\left(1-2x\right)e^{3x}dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=1-2x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-2dx\\v=\frac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{3}\left(1-2x\right)e^{3x}+\frac{2}{3}\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}\left(1-2x\right)e^{3x}+\frac{2}{9}e^{3x}+C\)
