1) Đặt \(2+lnx=t\Leftrightarrow x=e^{t-2}\Rightarrow dx=e^{t-2}dt\)
\(I_1=\int\left(\frac{t-2}{t}\right)^2\cdot e^{t-2}\cdot dt=\int\left(1-\frac{4}{t}+\frac{4}{t^2}\right)e^{t-2}dt\\ =\int e^{t-2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt+4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt\)
Có:
\(4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt=-4\int e^{t-2}\cdot d\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}+4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt\\ \Leftrightarrow4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t^{ }}dt=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}\)
Vậy \(I_1=\int e^{t-2}dt-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}=e^{t-2}-\frac{4e^{t-2}}{t}+C\)
3) Đặt \(t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}\Rightarrow t^2-1=\sqrt[3]{x^2}\Leftrightarrow x^2=\left(t^2-1\right)^3\)
\(d\left(x^2\right)=d\left[\left(t^2-1\right)^3\right]\Leftrightarrow2x\cdot dx=6t\left(t^2-1\right)^2\cdot dt\)
\(I_3=\int\frac{3t\left(t^2-1\right)^2}{t}dt=3\int\left(t^4-2t^2+1\right)dt=...\)
5) Đặt \(\frac{2+x}{2-x}=4t^3\Leftrightarrow4t^3=\frac{4}{2-x}-1\)
\(d\left(4t^3\right)=d\left(\frac{4}{2-x}-1\right)\Leftrightarrow3t^2dt=\frac{1}{\left(2-x\right)^2}dx\)
\(I_5=\int\frac{3t^2}{t\sqrt[3]{4}}dt=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\int tdt=...\)
Bài 1:
\(A=\int \left ( \frac{\ln x}{\ln x+2} \right )^2dx=\int \left ( 1-\frac{2}{\ln x+2} \right )^2dx=x-4\int \frac{dx}{\ln x+2}+4\int \frac{dx}{(\ln x+2)^2}\) $(1)$
Sử dụng nguyên hàm từng phần với \(\left\{\begin{matrix}u=\frac{1}{\ln x+2}\\ dv=dx\end{matrix}\right.\) ta có: \(4\int \frac{dx}{\ln x+2}=4\left ( \frac{x}{\ln x+2}+\int \frac{dx}{(\ln x+2)^2} \right )\)$(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ \(\Rightarrow A=x-\frac{4x}{\ln x+2}+c\)
Bài 2: Bài toán tương đương với việc đi tìm \(\int \frac{dx}{x^5(x-2)^3}\)
Đặt \(x=\frac{1}{t}\Rightarrow B=-\int \left ( \frac{t^2}{1-2t} \right )^3dt=\int \frac{t^6dt}{(2t-1)^3}=\frac{1}{128}\int \frac{(2t)^6d(2t-1)}{(2t-1)^3}\)
Đến đây chắc dễ rồi.
P.s: có một cách khác là dùng hệ số bất định để tách thành hiệu các phân số. Nhưng cách này có vẻ khá cồng kềnh nên mình chưa thử =]]
Bài 3: Đặt \(\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}=t\Rightarrow x^2=(t^2-1)^3\)
Có: \(C=\int \frac{xdx}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2)}{t}=\frac{1}{2}\int \frac{d[(t^2-1)^3]}{t}=3\int (t^2-1)^2dt\)
\(\Leftrightarrow C=\frac{3t^5}{5}+3t-2t^3+c\)
Vì bạn Hoàng bài 5 rồi nên mình xin phép làm nốt bài còn lại 
Bài 4:
Phân tích được \(D=\int \frac{dx}{x^3\sqrt[3]{2-x^3}}=\frac{1}{2}\left ( \int \frac{dx}{\sqrt[3]{2-x^3}}+\int \frac{\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{x^3})x \right )\)
Xét \(\int \frac{\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{x^3}dx \) dùng nguyên hàm từng phần \(\left\{\begin{matrix}u=\sqrt[3]{(2-x^3)^2}\\ dv=\frac{dx}{x^3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \int \frac{\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{x^3}dx=\frac{-\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{2x^2}-\int \frac{dx}{\sqrt[3]{2-x^3}}\Rightarrow D=\frac{-\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{4x^2}+c\)
Các bạn làm rất tốt.
Cảm ơn mọi người nhiều!
