Question

tìm các giá trị của m để phương trình : \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-3=0\)có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|=5\) (với m là tham số)

Answer 1

Lời giải:

Trước tiên, pt có hai nghiệm pb khi mà:

\(\Delta'=(m-1)^2-(2m-3)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>0\Leftrightarrow (m-2)^2>0\Leftrightarrow m\neq 2\)

Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\)

\(=4(m-1)^2-4(2m-3)\)

\(=4m^2-16m+16=(2m-4)^2\)

\(\Rightarrow |x_1-x_2|=|2m-4|\)

Để \(|x_1-x_2|=5\Rightarrow |2m-4|=5\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=\frac{9}{2}\\ m=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\) (đều thỏa mãn)

Vậy...........

Answer 2

xét pt \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-3=0\) (1)

từ (1) có \(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-\left(2m-3\right)\)

\(\Delta'=m^2-2m+1-2m+3\)

\(\Delta'=m^2-4m+4\)

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2>0\forall m\ne2\)

\(\Rightarrow pt\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\ne2\)

có vi - ét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

theo bài ra ta có \(\left|x_1-x_2\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x_1-x_2\right|\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-25=0\)

\(\Leftrightarrow\left[2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(2m-3\right)-25=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-8m+12-25=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-8m-13=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-16m-9=0\) \(\left(2\right)\)

từ (2) có \(\Delta'=\left(-8\right)^2-4.\left(-9\right)=64+36=100>0\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=10\)

vì \(\Delta'>0\) nên pt (2) có 2 nghiệm phân biệt

\(m_1=\dfrac{8+10}{4}=\dfrac{9}{2};m_2=\dfrac{8-10}{4}=\dfrac{-1}{2}\) ( TM \(\forall m\ne2\))

vậy \(m_1=\dfrac{9}{2};m_2=\dfrac{-1}{2}\) là các giá trị cần tìm

Answer 3

Ta có \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm phân biệt của pt trên

=> \(\Delta>0\)

<=> \(\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(2m-3\right)>0\)

<=> \(4\left(m^2-2m+1\right)-8m+12>0\)

<=> \(4m^2-16m+16>0\)

<=> \(\left(2m-4\right)^2>0\) luôn đúng với mọi m và \(m\ne2\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

=> \(\left|x_1-x_2\right|=5\)

<=> \(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}=5\)

<=> \(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=5\)

<=> \(\sqrt{4\left(m^2-2m+1\right)-8m+12}=5\)

<=> \(\sqrt{\left(2m-4\right)^2}=5\)

<=> \(\left(2m-4\right)^2=25\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{9}{2}\left(TM\right)\\m=\dfrac{-1}{2}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy......