Câu hỏi của Minecraftboy01

Question

Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho $x^2y+x+y$ chia hết cho $xy^2+y+1$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$y\left(x^2y+x+y\right)-x\left(xy^2+y+1\right)⋮xy^2+y+1$

$\Rightarrow y^2-x⋮xy^2+y+1$

TH1: $y^2-x=0\Rightarrow x=y^2$

$\Rightarrow\left(y^2\right)^2.y+y^2+y⋮y^2.y^2+y+1$

$\Leftrightarrow y^5+y^2+y⋮y^4+y+1$

$\Leftrightarrow y\left(y^4+y+1\right)⋮y^4+y+1$ (luôn đúng)

$\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(k^2;k\right)$ với $k\in Z^+$

TH2: $y^2-x\ne0\Rightarrow y^2-x\ge xy^2+y+1$ (vô lý do $y^2\le xy^2$ và $-x< y+1$)

Vậy $\left(x;y\right)=\left(k^2;k\right)$ với k nguyên dương bất kìCâu trả lời: $y\left(x^2y+x+y\right)-x\left(xy^2+y+1\right)⋮xy^2+y+1$