Violympic toán 9

NH

Tam giác ABC có các cạnh là: a,b,c. Gọi 2p là chu vi tam giác. CMR:

a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\)

b) \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}>=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Cho 2p=18. Tìm GTNN của a2+b2+c2

NL
25 tháng 2 2020 lúc 14:36

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

b/ Áp dụng BĐT ở câu a:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)

Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{b}\)

Cộng vế với vế: \(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge2\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

c/ \(2p=a+b+c=18\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{18^2}{3}=108\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=6\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
MK
Xem chi tiết
NO
Xem chi tiết
LL
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
TP
Xem chi tiết
WO
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
QD
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết