để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)
\(\Rightarrow1^2-4\sqrt{3}\left(m+1\right)>0\Leftrightarrow1-4\sqrt{3}m-4\sqrt{3}>0\)\(\Leftrightarrow m< \dfrac{1-4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}\)
vì phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm này lớn hơn 2 lần nghiệm kia 1 đơn vị \(\Rightarrow\) 2 nghiệm của phương trình này có dạng \(k\) và \(2k+1\)
thế \(k\) và \(k+1\) vào phương trình ta được hệ :
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3}k^2-k+m+1=0\left(1\right)\\\sqrt{3}\left(2k+1\right)^2-\left(2k+1\right)+m+1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
từ phương trình (1) ta có : \(m=k-\sqrt{3}k^2-1\)
thế vào (2) ta có : \(\sqrt{3}\left(2k+1\right)^2-\left(2k+1\right)+k-\sqrt{3}k^2-1+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=\dfrac{-3+\sqrt{3}}{9}\\k=-1\end{matrix}\right.\)
với \(k=\dfrac{-3+\sqrt{3}}{9}\Rightarrow m=\dfrac{-30-\sqrt{3}}{27}\)
với \(k=-1\Rightarrow m=-2-\sqrt{3}\)
vậy \(m=\dfrac{-30-\sqrt{3}}{27};m=-2-\sqrt{3}\)
