Question

P=\(\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left(\frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x^2-x}\right)\)
a rút gọn P
tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1

Answer 1

Lời giải:

ĐK: \(x\neq 0; 1\)

\(P=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}: \left(\frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x^2-x}\right)\)

\(=\frac{x(x+1)}{(x-1)^2}:\left[\frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}+\frac{x}{x(x-1)}+\frac{2-x^2}{x(x-1)}\right]\)

\(=\frac{x(x+1)}{(x-1)^2}:\frac{x+1}{x(x-1)}=\frac{x(x+1)}{(x-1)^2}.\frac{x(x-1)}{x+1}=\frac{x^2}{x-1}\)

\(P=\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}=2+(x-1)+\frac{1}{x-1}\)

Khi $x>1$ thì $x-1>0; \frac{1}{x-1}>0$. Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:

\((x-1)+\frac{1}{x-1}\geq 2\sqrt{(x-1).\frac{1}{x-1}}=2\)

\(\Rightarrow P=2+(x-1)+\frac{1}{x-1}\geq 2+2=4\)

Vậy khi $x>1$ thì GTNN của $P$ là $4$