Violympic toán 9

NN

min P=\(\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}\)

MV
3 tháng 9 2018 lúc 15:09

\(ĐK:\) \(x\ge0\)

\(P=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\dfrac{\left(x-1\right)+9}{\sqrt{x+1}}\)

\(P=\sqrt{x-1}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\left(\sqrt{x+1}+\dfrac{9}{\sqrt{x+1}}\right)-2\ge2\)

\(P=\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right).9}{\sqrt{x+1}}-2=4}\) \((BĐT\) \(AM-GM)\)

Vậy...

Bình luận (0)
TQ
3 tháng 9 2018 lúc 15:15

\(P=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(x-4\sqrt{x}+4\right)+4\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\sqrt{x}+1}+4\)Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1>0\\\left(\sqrt{x}-2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)\(\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\sqrt{x}+1}\ge0\Rightarrow\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\sqrt{x}+1}+4\ge4\Rightarrow P\ge4\)

Vậy MinP=4

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(\sqrt{x}-2\right)^2=0\Rightarrow\sqrt{x}-2=0\Rightarrow\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4\)

Bình luận (0)
NT
3 tháng 9 2018 lúc 15:30

\(P=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1+9}{\sqrt{x}+1}\)\(=\sqrt{x}-1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2\)

Ta có: \(x\ge0\forall x\Rightarrow\sqrt{x}+1>0,\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}>0\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right).\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}}\)

\(\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\ge6\)

\(\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2\ge4\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\sqrt{x}+1=\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1=-3\left(L\right)\\\sqrt{x}+1=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\)

\(\Leftrightarrow x=4\left(TM\right)\)

Vậy MinA = 4 khi x = 4

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
BA
Xem chi tiết
LV
Xem chi tiết
DN
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
BA
Xem chi tiết
MD
Xem chi tiết
TP
Xem chi tiết
KJ
Xem chi tiết
AS
Xem chi tiết