Question

Hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\x^2-2mx+1\le0\end{matrix}\right.\) có nghiệm khi và chỉ khi?

Answer 1

\(x-1>0\Rightarrow x>1\)

Để hệ BPT có nghiệm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-1\ge0\\x_2=m+\sqrt{m^2-1}>1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-1\end{matrix}\right.\\\sqrt{m^2-1}>1-m\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1):

- Với \(m=1\) ko thỏa mãn

- Với \(m>1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng

- Với \(m\le-1\) hai vế ko âm, bình phương:

\(m^2-1\ge m^2-2m+1\Leftrightarrow m\ge1\) (ktm)

Vậy mới \(m>1\) thì BPT đã cho có nghiệm