Question

Hãy xét tính tăng giảm, bị chặn trên, chặn dưới của dãy số:

a) \(u_n=\frac{n+1}{3^n}\)

b) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

giải giúp mình phần bị chặn thôi, phần kia mình làm được rồi

Answer 1

a/ Hiển nhiên rằng \(u_n>0\) nên dãy bị chặn dưới

Ta sẽ chứng minh \(3^n\ge n+1\) với mọi n

- Với \(n=0\Rightarrow1\ge1\) (đúng)

- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\) hay \(3^k\ge k+1\)

- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(3^{k+1}\ge k+2\)

Thật vậy: \(3^{k+1}=3.3^k>3\left(k+1\right)=3k+3>k+2\) ; \(\forall k\ge0\)

Vậy \(u_n=\frac{n+1}{3^n}\le1\) ; \(\forall n\Rightarrow\) dãy bị chặn trên

b/ \(u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)

\(u_n>0\) nên dãy bị chặn dưới

\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ge1;\forall n\ge0\Rightarrow u_n\le1;\forall n\)

\(\Rightarrow\) Dãy bị chặn trên