Bài 1:
a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
b: Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
=>BC\(\perp\)CD
Ta có: OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC
Ta có: BC\(\perp\)CD
BC\(\perp\)OA
Do đó: CD//OA
c: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
Do đó: OA là phân giác của góc BOC
=>\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}=\dfrac{\widehat{BOC}}{2}=\dfrac{120^0}{2}=60^0\)
Xét ΔBOA vuông tại B có \(tanBOA=\dfrac{BA}{OB}\)
=>\(\dfrac{BA}{20}=tan60=\sqrt{3}\)
=>\(BA=20\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Ta có: ΔBOA vuông tại B
=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)
=>\(OA^2=\left(20\sqrt{3}\right)^2+20^2=1600\)
=>\(OA=\sqrt{1600}=40\left(cm\right)\)
Ta có: \(\widehat{BOC}+\widehat{DOC}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(\widehat{DOC}+120^0=180^0\)
=>\(\widehat{DOC}=60^0\)
Xét ΔODC có OD=OC và \(\widehat{DOC}=60^0\)
nên ΔDOC đều
=>\(CD=OD=20\left(cm\right)\)
Câu 2:
a: Xét (A) có
AH là bán kính
BC\(\perp\)AH tại H
Do đó:BC là tiếp tuyến của (A)
Xét (A) có
BH,BD là các tiếp tuyến
Do đó:BH=BD và AB là phân giác của góc HAD
Xét (A) có
CH,CE là các tiếp tuyến
Do đó: CH=CE và AC là phân giác của góc HAE
Ta có: AB là phân giác của góc HAD
=>\(\widehat{HAD}=2\cdot\widehat{HAB}\)
AC là phân giác của góc HAE
=>\(\widehat{HAE}=2\cdot\widehat{HAC}\)
Ta có: \(\widehat{HAE}+\widehat{HAD}=\widehat{EAD}\)
=>\(\widehat{EAD}=2\cdot\widehat{HAB}+2\cdot\widehat{HAC}=2\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)
\(=2\cdot90^0=180^0\)
=>E,A,D thẳng hàng
b: Gọi O là trung điểm của BC
Ta có: ΔABC vuông tại A
mà AO là đường trung tuyến
nên AO=BO=CO
=>ΔBAC nội tiếp (O)
Xét hình thang BDEC có
O,A lần lượt là trung điểm của BC,DE
=>OA là đường trung bình của hình thang BDEC
=>OA//BD//EC
mà BD\(\perp\)AD
nên OA\(\perp\)AD
=>OA\(\perp\)ED
Xét (O) có
OA là bán kính
DE\(\perp\)OA tại A
Do đó: DE là tiếp tuyến của (O)
=>DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
