Để giá trị của giới hạn là một số thực xác định thì biểu thức trên tử số ít nhất phải có nghiệm kép \(x=1\)
Đặt \(f\left(x\right)=\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{3x+5}+ax+b\)
\(f\left(1\right)=a+b+3=0\Rightarrow b=-3-a\)
Thay ngược lại vào \(f\left(x\right)\)
\(f\left(x\right)=\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{3x+5}+ax-3-a\)
\(f\left(x\right)=\frac{3\left(x-1\right)}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{3\left(x-1\right)}{\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}+a\left(x-1\right)\)
\(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(\frac{3}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{3}{\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}+a\right)\)
\(\Rightarrow\) Để \(f\left(x\right)\) có nghiệm kép \(x=1\) thì
\(g\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{3}{\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}+a\) có ít nhất một nghiệm \(x=1\)
\(g\left(1\right)=\frac{3}{2}+\frac{3}{4+4+4}+a=0\Rightarrow a=-\frac{7}{4}\Rightarrow b=-\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{3x+5}-\frac{7}{4}x-\frac{5}{4}}{x^2-2x+1}=-\frac{37}{32}\)
\(\Rightarrow P=\frac{-\frac{7}{4}-\frac{5}{4}}{-\frac{37}{32}}=\frac{96}{37}\)