2) Đk: \(x\ge10\)
\(x=10+\sqrt{10+\sqrt{x}}\)
\(\Leftrightarrow x-10=\sqrt{10+\sqrt{x}}\)
- Bình phương hai vế của phương trình trên, ta có:
\(\left(x-10\right)^2=10+\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow x^2-20x+90-\sqrt{x}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-20x+90-\sqrt{x}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-19x+\dfrac{361}{4}-x-\sqrt{x}-\dfrac{1}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{19}{2}\right)^2-\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{19}{2}+\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{19}{2}-\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x}-9\right)\left(x-\sqrt{x}-10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\sqrt{x}-9=0\left(1\right)\\x-\sqrt{x}-10=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
- Giải pt (1). Đặt \(u=\sqrt{x}\left(u\ge\sqrt{10}\right)\). Khi đó phương trình trở thành:
\(u^2+u-9=0\)
\(\Delta=1^2-4.1.\left(-9\right)=37>0\)
\(\Rightarrow Pt\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt:
\(u_1=\dfrac{-1+\sqrt{37}}{2}\left(loại\right);u_2=\dfrac{-1-\sqrt{37}}{2}\left(loại\right)\)
- Giải pt (2). Đặt \(v=\sqrt{x}\left(v\ge\sqrt{10}\right)\). Khi đó phương trình trở thành:
\(v^2-v-10=0\)
\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.1.\left(-10\right)=41>0\)
\(\Rightarrow Pt\left(2\right)\) có 2 nghiệm phân biệt:
\(v_1=\dfrac{1+\sqrt{41}}{2}\left(nhận\right);v_2=\dfrac{1-\sqrt{41}}{2}\left(loại\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=v_1=\dfrac{1+\sqrt{41}}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{21+\sqrt{37}}{2}\left(nhận\right)\)
- Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{21+\sqrt{37}}{2}\)