Câu hỏi của Bi Bi

Question

Giaỉ phương trình nghiệm nguyên

$x^3-y^3=3xy+1$

$x^2+2y^2+3xy+3x+5y=14$

$x^2\left(y-1\right)+y^2\left(x-1\right)=1$

$x^6+3x^3+1=y^4$

Akai Haruma · Accepted Answer

Bài 3:

PT $\Leftrightarrow x^2y+xy^2-(x^2+y^2)-1=0$

$\Leftrightarrow xy(x+y)-[(x+y)^2-2xy]-1=0$

$\Leftrightarrow ab-(a^2-2b)-1=0$ (đặt $x+y=a; xy=b$)

$\Leftrightarrow a^2-ab-2b+1=0$

$\Leftrightarrow a^2-b(a+2)+1=0$

$\Leftrightarrow b(a+2)=a^2+1$

Nếu $a+2=0$ thì $a=-2$

$\Rightarrow b.0=5$ (vô lý). Do đó $a+2\neq 0$

$\Rightarrow b=\frac{a^2+1}{a+2}$.

Với $x,y$ nguyên thì $a,b$ nguyên. Để $b$ nguyên thì $a^2+1\vdots a+2$

$\Leftrightarrow (a-2)(a+2)+5\vdots a+2$

$\Leftrightarrow 5\vdots a+2$

$\Rightarrow a+2\in\left\{\pm 1;\pm 5\right\}$

$\Rightarrow a\in\left\{-3; -1; -7; 3\right\}$

$\Rightarrow b\in\left\{-10; 2; -10; 2\right\}$ (tương ứng)

Với $(a,b)=(-3,-10)$, áp dụng đly Vi-et đảo thì $x,y$ sẽ là nghiệm của PT $X^2+3X-10=0$ $\Rightarrow (x,y)=(2,-5)$ và hoán vị.

Tương tự với các TH còn lại ta thu được: $(x,y)=(2,1); (2,-5)$ và các hoán vị.Câu trả lời: Bài 3:

PT $\Leftrightarrow x^2y+xy^2-(x^2+y^2)-1=0$

$\Leftrightarrow xy(x+y)-[(x+y)^2-2xy]-1=0$

$\Leftrightarrow ab-(a^2-2b)-1=0$ (đặt $x+y=a; xy=b$)

$\Leftrightarrow a^2-ab-2b+1=0$

$\Leftrightarrow a^2-b(a+2)+1=0$

$\Leftrightarrow b(a+2)=a^2+1$

Nếu $a+2=0$ thì $a=-2$

$\Rightarrow b.0=5$ (vô lý). Do đó $a+2\neq 0$

$\Rightarrow b=\frac{a^2+1}{a+2}$.

Với $x,y$ nguyên thì $a,b$ nguyên. Để $b$ nguyên thì $a^2+1\vdots a+2$

$\Leftrightarrow (a-2)(a+2)+5\vdots a+2$

$\Leftrightarrow 5\vdots a+2$

$\Rightarrow a+2\in\left\{\pm 1;\pm 5\right\}$

$\Rightarrow a\in\left\{-3; -1; -7; 3\right\}$

$\Rightarrow b\in\left\{-10; 2; -10; 2\right\}$ (tương ứng)

Với $(a,b)=(-3,-10)$, áp dụng đly Vi-et đảo thì $x,y$ sẽ là nghiệm của PT $X^2+3X-10=0$ $\Rightarrow (x,y)=(2,-5)$ và hoán vị.

Tương tự với các TH còn lại ta thu được: $(x,y)=(2,1); (2,-5)$ và các hoán vị.

Akai Haruma · Answer

Bài 4: Ta xét các TH sau: TH1 $x\geq 1$ $x^6+3x^3+1>x^6=(x^3)^2$ $x^6+3x^3+1=(x^3+2)^2-x^3-3< (x^3+2)^2$ $\Rightarrow (x^3)^2< x^6+3x^3+1< (x^3+2)^2$ $\Leftrightarrow (x^3)^2< y^4< (x^3+2)^2$ Theo nguyên lý kẹp thì $y^4=(x^3+1)^2$ $\Leftrightarrow x^6+3x^3+1=(x^3+1)^2$ $\Leftrightarrow x=0$ (loại vì $x\geq 1$) TH2: $x=0; x=-1$ thì ta thấy $x=0$ thỏa mãn, kéo theo $y=\pm 1$ TH3: $x\leq -2\rightarrow x^3\leq -8$. Do đó: $x^6+3x^3+1\leq x^6+2x^3+(-8)+1< (x^3+1)^2$ $x^6+3x^3+1=x^6+4x^3-x^3-1\geq x^6+4x^3+9>(x^3+2)^2$ $\Rightarrow (x^3+1)^2> x^6+3x^3+1> (x^3+2)^2$ $\Rightarrow (x^3+1)^2>y^4> (x^3+2)^2$ (vô lý theo nguyên lý kẹp) Vậy $(x,y)=(0,\pm 1)$Câu trả lời: Bài 4: Ta xét các TH sau: TH1 $x\geq 1$ $x^6+3x^3+1>x^6=(x^3)^2$ $x^6+3x^3+1=(x^3+2)^2-x^3-3< (x^3+2)^2$ $\Rightarrow (x^3)^2< x^6+3x^3+1< (x^3+2)^2$ $\Leftrightarrow (x^3)^2< y^4< (x^3+2)^2$ Theo nguyên lý kẹp thì $y^4=(x^3+1)^2$ $\Leftrightarrow x^6+3x^3+1=(x^3+1)^2$ $\Leftrightarrow x=0$ (loại vì $x\geq 1$) TH2: $x=0; x=-1$ thì ta thấy $x=0$ thỏa mãn, kéo theo $y=\pm 1$ TH3: $x\leq -2\rightarrow x^3\leq -8$. Do đó: $x^6+3x^3+1\leq x^6+2x^3+(-8)+1< (x^3+1)^2$ $x^6+3x^3+1=x^6+4x^3-x^3-1\geq x^6+4x^3+9>(x^3+2)^2$ $\Rightarrow (x^3+1)^2> x^6+3x^3+1> (x^3+2)^2$ $\Rightarrow (x^3+1)^2>y^4> (x^3+2)^2$ (vô lý theo nguyên lý kẹp) Vậy $(x,y)=(0,\pm 1)$

Akai Haruma · Answer

Bài 1:

Ta liên tưởng đến đẳng thức rất quen thuộc là:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$. Áp dụng vào bài toán:

$x^3-y^3=3xy+1$

$\Leftrightarrow x^3+(-y)^3+(-1)^3-3x(-y)(-1)=0$

$\Leftrightarrow (x-y-1)(x^2+y^2+1+xy+x-y)=0$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
x-y-1=0\
x^2+y^2+1+xy+x-y=0\end{matrix}\right.$

Nếu $x-y-1=0\Rightarrow x=y+1$. PT có vô số nghiệm $(x,y)=(m+1,m)$ với $m$ là số nguyên bất kỳ.

Nếu $x^2+y^2+1+xy+x-y=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2+(x+1)^2+(y-1)^2}{2}=0$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=(x+1)^2=(y-1)^2=0\Leftrightarrow x=-1; y=1$Câu trả lời: Bài 1:

Ta liên tưởng đến đẳng thức rất quen thuộc là:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$. Áp dụng vào bài toán:

$x^3-y^3=3xy+1$

$\Leftrightarrow x^3+(-y)^3+(-1)^3-3x(-y)(-1)=0$

$\Leftrightarrow (x-y-1)(x^2+y^2+1+xy+x-y)=0$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
x-y-1=0\
x^2+y^2+1+xy+x-y=0\end{matrix}\right.$

Nếu $x-y-1=0\Rightarrow x=y+1$. PT có vô số nghiệm $(x,y)=(m+1,m)$ với $m$ là số nguyên bất kỳ.

Nếu $x^2+y^2+1+xy+x-y=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2+(x+1)^2+(y-1)^2}{2}=0$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=(x+1)^2=(y-1)^2=0\Leftrightarrow x=-1; y=1$

Violympic toán 9

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)