Lời giải:
Ta có: \(x^3-y^3-2y^2-3y-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^3=y^3+2y^2+3y+1\)
Đến đây ta suy nghĩ theo hướng sử dụng nguyên lý kẹp.
Có:
\(y^3+2y^2+3y+1=(y^3+3y^2+3y+1)-y^2=(y+1)^3-y^2\leq (y+1)^3\)
Và: \(y^3+2y^2+3y+1=(y^3-3y^2+3y-1)+5y^2+2\)
\(=(y-1)^3+5y^2+2>(y-1)^3\)
Như vậy: \((y-1)^3< y^3+2y^2+3y+1\leq (y+1)^3\)
\(\Rightarrow (y-1)^3< x^3\leq (y+1)^3\)
Suy ra: \(\left[\begin{matrix} x^3=y^3\\ x^3=(y+1)^3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} y^3+2y^2+3y+1=y^3(1)\\ y^3+2y^2+3y+1=(y+1)^3(2)\end{matrix}\right.\)
TH(1): \(\Leftrightarrow 2y^2+3y+1=0\Leftrightarrow (2y+1)(y+1)=0\)
\(\Rightarrow y=-1\) (do \(y\in\mathbb{Z}\Rightarrow x=-1\) )
TH(2): \(\Leftrightarrow y^2=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=1\)
Vậy \((x,y)=(-1,-1); (1,0)\)