Question

có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiêm thực\(\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3cosx}}=cosx\)

Answer 1

\(m+3\sqrt[3]{m+3cosx}=cos^3x\)

Đặt \(\sqrt[3]{m+3cosx}=t\Rightarrow m=t^3-3cosx\)

\(\Rightarrow t^3-3cosx+3t=cos^3x\)

\(\Leftrightarrow t^3+3t=cos^3x+3cosx\)

Hàm \(f\left(t\right)=t^3+3t\) có \(f'\left(t\right)=3t^2+3>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow t=cosx\) (hoặc là bạn liên hợp cũng được, tùy thích)

\(\Leftrightarrow m=t^3-3cosx=cos^3x-3cosx\)

Đặt \(cosx=u\in\left[-1;1\right]\Rightarrow f\left(u\right)=u^3-3u=m\)

Xét hàm \(f\left(u\right)=u^3-3u\) trên \(\left[-1;1\right]\)

\(f'\left(u\right)=3u^2-3\Rightarrow u=\pm1\)

\(f\left(-1\right)=2\) ; \(f\left(1\right)=-2\Rightarrow-2\le f\left(u\right)\le2\)

\(\Rightarrow-2\le m\le2\)