ĐK \(x\ne1\)
\(\left(\dfrac{x^2}{x-1}\right)+\dfrac{2x^2}{x-1}+a=0\) (1)
Đặt \(\dfrac{x^2}{x-1}=t\left(2\right)\Rightarrow x^2=t.x-t\Rightarrow x^2-tx+t=0\)
\(\Delta=t^2-4t>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t< 0\\t>4\end{matrix}\right.\) (3)
Thế (2) vào (1) ta được: \(f\left(t\right)=t^2+2t+a=0\) (4)
Để (1) có đúng 4 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\) pt (4) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện (3) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t_1< t_2< 0\left(5\right)\\t_1< 0< 4< t_2\left(6\right)\\4< t_1< t_2\left(7\right)\end{matrix}\right.\)
TH1: Xét (4) với điều kiện (5): \(t_1< t_2< 0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\P>0\\S< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a>0\\a>0\\-2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0< a< 1\)
TH2: Xét (4) với điều kiện (6): \(t_1< 0< 4< t_2\)
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)< 0\\f\left(4\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\24+a< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a< -24\)
TH3: Xét (4) với điều kiện (7): \(4< t_1< t_2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\f\left(4\right)>0\\\dfrac{S}{2}>4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a>0\\24+a>0\\\dfrac{-2}{2}>4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không có a thỏa mãn
Vậy với \(\left[{}\begin{matrix}0< a< 1\\a< -24\end{matrix}\right.\) thì pt có đúng 4 nghiệm \(\Rightarrow\) có vô số giá trị của a