Question

CMR : trong một tam giác vuông tổng bình phương các đường trung tuyến bằng 3/2 bình phương cạnh huyền

Answer 1

Tam giác ABC vuông ở A trung tuyến AM,BN,CP như hình

=>AM=\(\dfrac{BC}{2}\)(trung tuyến ứng với cạnh huyền)

=>AM²\(=\dfrac{BC^2}{4}\)

Áp dụng định lí Pytago:

BN²=AN²+AB²=\(\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2+AB^2=\dfrac{AC^2+4AB^2}{4}\)

CP²=AC²+AP²=\(AC^2+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2=\dfrac{4AC^2+AB^2}{4}\)

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(AM^2+BN^2+CP^2=\dfrac{BC^2}{4}+\dfrac{5AC^2+5AB^2}{4}=\dfrac{BC^2}{4}+\dfrac{5}{4}\left(AB^2+AC^2\right)=\dfrac{BC^2}{4}+\dfrac{5BC^2}{4}=\dfrac{6}{4}BC^2=\dfrac{3}{2}BC^2\)

Vậy...(đpcm)