Ta nhận thấy không có \(2\) số chính phương liên tiếp nào cách nhau \(2\) đơn vị
Vậy ta sẽ chứng minh\(p+1\) là số chính phương
Giả sử \(p+1\) là số chính phương
Ta thấy tích của \(n\) số nguyên tố đầu tiên là số chẵn
\(\Rightarrow p\) chẵn
\(\Rightarrow p+1\) lẻ
Đặt \(p+1=m^2\)
\(\Rightarrow m\) lẻ
Đặt \(m=2k+1\)
\(\Rightarrow p+1=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1\)
\(\Rightarrow p=4k^2+4k\) chia hết cho \(4\)
Mà \(p\) chỉ chia hết cho \(2\Rightarrow\) Trái với giải thiết.
\(\Rightarrow p+1\) không là số chính phương
Ta thấy: \(p=2.3.4...\)
\(\Rightarrow p\) chia hết cho \(3\)
\(\Rightarrow p-1\) chia 3 dư 2
Mà số chính phương chỉ chia 3 dư 0 hoặc 1 \(\Rightarrow\) Vô lí
\(\Rightarrow p-1\) không là số chính phương
Vậy ta có điều phải chứng minh.
