\(a^4+b^4+2=a^4+b^4+1+1\ge4\sqrt[4]{a^{4\cdot}\cdot b^4\cdot1\cdot1}=4ab\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b
Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số không âm , ta có :
a4 + b4 + 1 + 1 ≥ \(4\sqrt[4]{a^4.b^4.1.1}=4ab\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = 1
Giải:
Ta có: a, b > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge\left(\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Cách khác :V
Theo BĐT Cô - si ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+1\ge2a^2\\b^4+1\ge2b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+2\ge2\left(a^2+b^2\right)\)
Mà \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+2\ge4ab\) ( đpcm )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=1\)
Áp dụng BDT: Cô-si : \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge2a^2b^2\\ \Rightarrow a^4+b^4+2\ge2a^2b^2+2\left(1\right)\)
Xét hiệu:
\(2a^2b^2+2-4ab\\ =2\left(a^2b^2-2ab+1\right)\\ =2\left(ab-1\right)^2\ge0\\ \Rightarrow2a^2b^2+2\ge4ab\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow a^4+b^4+2\ge4ab\left(đpcm\right)\)
Vậy \(a^4+b^4+2\ge4ab\) đẳng thức xảy ra khi: \(a=b=1\)