Question

Chuyên mục: BĐT Toán học #6

Ai trả lời đúng + chính xác sẽ được 5GP.

Question: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y+x\ge12\).Tìm GTNN của biểu thức:
\(C=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\)

_#Part 5 do sai sót của tớ nên 3 GP vẫn trao cho người tìm được nguồn trên mạng anh Nguyễn Huy Thắng nha.

_Dù em biết anh không cần nhưng em sẽ vẫn gửi 3 GP cho acc @Lightning Farron.

_Quiz này #5 GP nhé, với cả tớ post buổi tối cho mọi người cùng làm nha.

#Don't_try_so_hard

#The_best_things_come_when_you_least_expect_them_to

#GudLuck

Answer 1

Lỗi đề rồi

Answer 2

\(\dfrac{C}{2}=\dfrac{x}{\sqrt{4y}}+\dfrac{y}{\sqrt{4z}}+\dfrac{z}{\sqrt{4x}}\ge\dfrac{2x}{y+4}+\dfrac{2y}{z+4}+\dfrac{2z}{x+4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{C}{4}\ge\dfrac{x}{y+4}+\dfrac{y}{z+4}+\dfrac{z}{x+4}=\dfrac{x^2}{xy+4x}+\dfrac{y^2}{yz+4y}+\dfrac{z^2}{zx+4z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+12\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+12}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow C\ge6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4

Answer 3

Ước gì t đã giỏi toán :> nhưng mà dell bao giờ được đâu

Answer 4

Thôi rồi cái đề ơi :>
Ai có thể sửa hộ tớ :
\(x+y+z\ge12\)

Xin lỗi mọi người nhé :>
@phynit thầy ơi sửa hộ em với, em rất xin lỗi đã làm phiền ạ TT_TT

Answer 5

46 phút trước ra đề, 24 phút trước có lời giải :v

Answer 6

du tui ko can nhung sao tui thay co moi 2 GP nhi :v

Answer 7

Thốn nhất là khi đánh máy sắp xong thì click back -.-

Có 2,3 cách giải nhưng chị @Shurima Azir giải 1 cách rồi nên tớ sẽ làm cách ngắn gọn nhất :>
Key:

Ta có: \(C^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\dfrac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương, ta có:

\(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4x\)

Tương tự cho 2 bộ kia.

\(\Rightarrow C^2\ge4\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)=3\left(x+y+z\right)=36\)

\(\Rightarrow C\ge6\)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=4\)

Vậy ...

Answer 8

Bài làm :

Ta có : \(C^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\dfrac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương,ta được :

\(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\dfrac{x^2.x^2.y.z}{yz}}=4x\)

\(\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\dfrac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4\sqrt[4]{\dfrac{y^2.y^2.z.x}{xz}}=4y\)

\(\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\dfrac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4\sqrt[4]{\dfrac{z^2.z^2.x.y}{yx}}=4z\)

Do đó : \(C^2\ge4\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)=3\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow C^2\ge3.12=36\)(Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4)

Vậy minC = 6 khi và chỉ khi x=y=z=4

Answer 9

Nguyễn Thị Ngọc Thơ không tick quá 5GP đấy chứ ? Từ lúc có bài này đến giờ nhận 7 hay 8 GP gì đấy rồi