Ta có :
\(xOz+zOy=180^0\) (2 góc kề bù)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xOz}{2}+\dfrac{zOy}{2}=zOt+zOm\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{180^0}{2}=zOt+zOm\)
\(\Leftrightarrow zOt+zOm=90^0\)
\(\Leftrightarrow tOm\) là góc vuông
\(\Leftrightarrow\) Hai tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau.
\(\left(đpcm\right)\)
Gọi \(\widehat{AOC}\) và \(\widehat{BOC}\) là hai góc kề bù, các tia OM, ON thứ tự là các tia phân giác của chúng. Ta phải chứng tỏ rằng \(OM\perp ON\).
Thật vậy, hai góc \(\widehat{AOC}\) và \(\widehat{BOC}\) kề bù nên tia OC nằm giữa hai tia OA, OB (1) và \(\widehat{AOC}+\widehat{BOC}=180^0\).
Tia OM là tia phân giác của góc AOC nên tia OM nằm giữa hai tia OA, OC (2) và \(\widehat{MOC}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOC}.\)
Tia ON là tia phân giác của góc BOC nên tia ON nằm giữa hai tia OB và OC (3) và \(\widehat{CON}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOC}\).
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\) tia OC nằm giữa hai tia OM, ON do đó
\(\widehat{MON}=\widehat{MOC}+\widehat{CON}=\dfrac{\widehat{AOC}+\widehat{BOC}}{2}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\).
Hai tia OM, ON cắt nhau tại O và \(\widehat{MON=90^0}\) nên \(OM\perp ON\)
