Question

Chứng minh rằng: Với a, b là các số dương thì: a/b + b/a>= 2

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}-2\geq 0\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0\) (luôn đúng với mọi $a,b$ dương )

Do đó BĐT đã cho luôn đúng.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

Answer 2

Ta có: a > 0, b > 0

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}>0,\dfrac{b}{a}>0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\dfrac{b}{a}}=2\)

Answer 3

Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương \(\dfrac{a}{b},\dfrac{b}{a}\) ta được:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

\(\to\) Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}\)

\(\to a^2=b^2\)

\(\to a=b\) (a,b>0)