Question

Chứng minh rằng tích của một số chính phương với số liền trước nó là số chia hết cho 12

Answer 1

\(\text{Gọi số chính phương là a}^2\text{ }\)

\(\text{Ta có: }a^2\left(a^2-1\right)=a.a.\left(a+1\right).\left(a-1\right)\)

\(\text{Vì }\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\text{ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp}\Rightarrow a^2\left(a^2-1\right)⋮3\)

\(\text{Vì }\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-1\right)\text{ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp}\\a\left(a+1\right)\text{ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-1\right)⋮2\\a\left(a+1\right)⋮2\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2\left(a^2-1\right)⋮4\)

\(\text{Mà }\left(3;4\right)=1\)

\(\Rightarrow a^2\left(a^2-1\right)⋮12\)