Question

Chứng minh rằng nếu M là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác ABCD thì MA+MB+MC+MD nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn nửa chu vi của tứ giác (trong 1 tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy)

Answer 1

Xét tam giác ABM; tam giác BCM; tam giác ADM; tam giác CDM ta có:

\(AM+BM>AB;BM+CM>BC;AM+DM>AD;CM+DM>CD\)

(áp dụng bất đẳng thức tam giác)

\(\Rightarrow AM+BM+BM+CM+AM+DM+CM+DM>AB+BC+AD+CD\)

\(\Rightarrow2.\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\)(1)

\(\Rightarrow AC+BD>\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)

Vậy trong 1 tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy(đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!