Question

chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình y = \(\frac{x}{3}\) với đồ thị của hàm số y = \(\sin x\) đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn \(\sqrt{10}\) .

Answer 1

Bạn tự vẽ hình nhé !

* Cách 1 : Đường thẳng \(y=\frac{x}{3}\) đi qua các điểm E( - 3 ; - 1 ) và F ( 3 ; 1 )

Chỉ có đoạn thẳng EF của đường thẳng đó nằm trong dải { ( x ; y ) | - 1 \(\leq\)  y \(\leq\) 1 } ( dải này chứa đô thị của hàm số y = sinx ).

Vậy các giao điểm của đường thẳng \(y=\frac{x}{3}\) với đô thị của hàm số y = sinx phải thuộc đoạn thẳng EF ; mọi điểm của đoạn thẳng này cách O một khoảng không dài hơn \(\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)

( và rõ ràng E , F không thuộc đô thị của hàm số y = sinx ).

* Cách 2 : Gọi A( x₀ ; y_o ) là giao điểm của đồ thị hàm số y = sinx vậy y = \(\frac{x}{3}\)

Ta có : \(y_0=sinx_0=>\left|y_0\right|\le1\)  

           \(sinx_0=\frac{x_0}{3}=>x_0=3sinx_0=>\left|x_0\right|\le3\)

Khoảng cách từ A( x₀ ; y₀ ) đến gốc tọa độ O là

        \(OA=\sqrt{x^2_0}+y^2_0\le\sqrt{\left(3sinx_0\right)^2+y^2_0}\)

                                       \(\le\sqrt{\left(3\right)^2+1^2}=\sqrt{10}\)