Question

Chứng minh phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm với mọi m

\(m\left(x-1\right)^{2022}\left(x^2-9\right)+x^2-2\)

Answer 1

Đặt \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^{2022}\left(x^2-9\right)+x^2-2\)  liên tục trên R 

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục trên [-3;1] và [1;3] 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=-1\\f\left(3\right)=7\\f\left(-3\right)=7\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow f\left(1\right)f\left(-3\right)< 0;f\left(3\right).f\left(1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 no x \(\in\left(-3;1\right)\) và 1 no x \(\in\) ( 1 ; 3 ) để f(x) = 0 \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) p/t có ít nhất 2 no \(\forall m\) (đpcm)