Ta có:
\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(a+3b\right)}+\sqrt{b\left(b+3a\right)}}=\frac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+\sqrt{4b\left(b+3a\right)}}\) (nhân 2 vào cả tử và mẫu)
\(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{\frac{4a+a+3b}{2}+\frac{4b+b+3a}{2}}=\frac{4\left(a+b\right)}{8\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}^{\left(đpcm\right)}\) (áp dụng BĐT Cô si vào cái mẫu)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}4a=a+3b\\4b=b+3a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b\)
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
\( \sqrt {4a\left( {3a + b} \right)} \le \dfrac{{4a + 3a + b}}{2} = \dfrac{{7a + b}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt {a\left( {3a + b} \right)} \le \dfrac{{7a + b}}{4}\\ \sqrt {4b\left( {3b + a} \right)} \le \dfrac{{4b + 3b + a}}{2} = \dfrac{{7b + a}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} \le \dfrac{{7b + a}}{4}\\ \Rightarrow \sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} \le \dfrac{{7b + a + 7a + b}}{4} = 2\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} }} \ge \dfrac{1}{2} \)
Dấu "=" xảy ra\(\left\{{}\begin{matrix}4a=3a+b\\4b=3b+a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b\)