Violympic toán 9

LM

Chứng minh:

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

NL
20 tháng 5 2020 lúc 17:00

BĐT chỉ đúng với x;y;z dương

Trước hết ta chứng minh:

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2-2abxy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Do đó:

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) (đpcm)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
VN
Xem chi tiết
BL
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
AR
Xem chi tiết
BL
Xem chi tiết
BL
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
KM
Xem chi tiết
BL
Xem chi tiết