Question

Chứng minh các BĐT sau:

a) ( a + b +c )² ≥ 3( ab + bc + ac)

b) 3( a² + b² + c² ) ≥ ( a + b + c )²

c) Cho a + b + c + d = 2, chứng minh a² + b² + c² + d² ≥ 1

d) \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\) ≥ \(\frac{2}{1+xy}\)

e) \(\frac{a^3}{b}\) ≥ a² + ab - b² ( a,b,c > 0 )

~~ GIÚP MÌNH VỚI các bạn!! GẤP!!!
~~ Mình cảm ơn trc ạ!

Answer 1

b) Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(1.a+1.b+1.c\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

Answer 2

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+bc+dc+ad\right)=4\)(*)

Có 2(ab+bc+dc+ad)<=2(a^2+b^2+c^2+d^2 )(**)

Cộng 2 vế của (**) cho a^2+b^2+c^2+d^2 có

3(a^2+b^2+c^2+d^2)>=4