Question

chứng minh bđt sau với mọi a,b,c ko âm

\(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\le\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}\)

Answer 1

Với a; b dương chứ nhỉ, nằm dưới mẫu thêm điều kiện khác 0, mà không âm + khác 0 thì nó là dương còn gì?

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\le\sqrt[3]{2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)^3\le2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right)\)

Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}=x\ge2\) BĐT tương đương:

\(x^3\le2\left(x^3-3x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3-6x+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+2x-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[x^2+x+x-2\right]\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(x=2\Leftrightarrow a=b\)