Sửa đề câu a là chia hết 59.
a, \(5^{n+3}-3.5^{n+1}+2^{6n+3}\)
\(=125.5^n-3.5.5^n+8.64^n\)
\(=110.5^n+8.64^n=\left(118-18\right).5^n+8.64^n\)
\(=118.5^n+8.\left(64^n-5^n\right)=2.59.5^n+8.59.P\)
\(=59\left(2.5^n+8.P\right)⋮59\)
b, \(10^n+18n-55\)
\(=\left(10^n-1\right)+18n-54\)
\(=99...999+18n-54\) (n chữ số 9)
\(=9\left(11...111+2n\right)-54\) (n chữ số 1)
\(=9\left(11...111-n+3n\right)-54\) (n chữ số 1)
Xét số 11..111 ( n chữ số 1) có tổng các chữ số là:
\(1+1+...+1+1=n\) (vì có n chữ sô 1)
\(\Rightarrow\)11...111 ( nu chữ số 1 ) và n có cùng số dư khi chia cho 3
\(\Rightarrow11...111-n⋮3\Rightarrow11...111-n+3n⋮3\)
\(\Rightarrow9\left(11...1111-n+3n\right)⋮27\) và \(54⋮27\)
\(\Rightarrow9\left(11...111-n+3n\right)-54⋮27\)
Vậy \(10^n+18n-55⋮27\) (đpcm)
