Question

Cho \(y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}\left(m+4\right)x^2-\left(2m^2-5m-3\right)x+2m-1\). Tìm m để hàm số có 2 cực trị x₁,x₂ sao cho lần lượt là độ dài của 1 HCN có đường chéo nhỏ nhất

Answer 1

y'=x^2-(m+4)x-(2m^2-5m-3)

Để f(x) có 2 cực trị x1,x2 thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt

=>(m+4)^2+4(2m^2-5m-3)>0

=>m^2+8m+16+8m^2-20m-12>0

=>9m^2-12m+4>0

=>m<>2/3

x1,x2 là 2 cạnh liên tiếp của 1 hình chữ nhật

=>x1*x2>0 và x1+x2>0

=>m+4>0 và -(2m^2-5m-3)>0

=>m>-4 và -1/2<m<3

=>-1/2<m<3 và m<>2/3

Bình phương Độ dài đường chéo là:

l^2=x1^2+x2^2

=(x1+x2)^2-2x1x2

=(m+4)^2+2(2m^2-5m-3)

=m^2+8m+16+4m^2-10m-6

=5m^2-2m+10

=5(m^2-2/5m+2)

=5(m^2-2*m*1/5+1/25+49/25)

=5(m-1/5)^2+49/5>=49/5

Dấu = xảy ra khi m=1/5

=>l^2 min=49/5

=>m=1/5