Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(yz+xt\geq 2\sqrt{yzxt}\Rightarrow 2yz+2xt\geq 4\sqrt{yzxt}\)
Do đó:
\(9=xy+4zt+2yz+2xt\geq xy+4zt+4\sqrt{yzxt}\)
\(\Leftrightarrow 9\geq (\sqrt{xy}+2\sqrt{zt})^2\)
\(\Rightarrow 3\ge \sqrt{xy}+2\sqrt{zt}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(yz=xt\)
Cho x,y,z >0. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\sqrt{\dfrac{2\sqrt{yz}}{1+\sqrt{xy}}}\ge2\)
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le1\)
cho x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=1. CMR: \(\dfrac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z = 2. Tìm GTLN của biểu thức
\(P=\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn \(x+y+z=2\) . Tìm GTLN của biểu thức \(P=\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\)
1. Cho x,y,z > 0. Chứng minh
\(\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{y^2+yz+2z^2}+\sqrt{z^2+zx+2x^2}\ge2\left(x+y+z\right)\)
cho x+y+z=1. chứng minh:\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
cho x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=1. CMR:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
1) Chứng minh : \(x^2+y^2\)≥\(2x\sqrt{yz}\) Với mọi x,y,z >0
2) Cho x+y+z = 2019 ;x,y,z >0
Tìm GTNN của P = \(\frac{x}{x+\sqrt{2019x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{2019y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{2019z+xy}}\)
